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手持KK，翻牌中暗三（含四条以及K66这样的葫芦）的概率多大？
任意翻牌有C(50,3) 种。翻牌只要有一个K就满足要求，先C(2,1)把这个K从剩余两个里挑出来，剩下两张翻牌就可以随意了。除去3个K，还有49张供选择。满足条件的翻牌一共有C(2,1) *C(49,2)种。所以，所要求的概率是：
C(2,1) * C(49,2) / C(50,3) = 12.0%
这计算对吗？
再来看一个计算。翻牌是882，我手里是AA，对手有8就比我大。他有8的概率是多大？
任意底牌有C(50,2)种。他既可以有一个8，也可以有两张8。先从剩下两张8中挑出一个给他，C(2,1)。他的第二张牌可以随便，C(49,1)。所以要求的概率是：
C(2,1) * C(49,1) / C(50,2) = 8.0%
再判断上述计算正误之前，再看看这个计算：我手里是A♥K♥，问翻牌出同花听牌（含翻牌直接同花）的概率多大？
任意翻牌有C(50,3) 种。翻牌只要有两张♥就满足要求，可以先从剩余的11张里面挑出来 C(11,2)。剩下一张随便，是不是♥都可以，可从剩下的48张挑 C(48,1)。所以要求的概率就是：
C(11,2) * C(48,1) / C(50,3) = 13.5%
以上三个计算全部都错了，而且三个犯的都是一样的错误：重复计算。
在第一个计算里面，不妨设我们拿的是两张红色的K。按照上述算法，黑桃K先被挑出来，然后剩下的随意，这算一部分；梅花K先被挑出来，剩下的随意，这算另一部分。然而，诸如KK4这样的翻牌，黑桃红桃两个K都翻出来，就被同时算到了两个阵营里，计算了两次。要想纠正这个错误，可有两种办法：
第一种是直接排除法。计算有两个K算了两次，那么我再减掉一次即可。翻牌有两个K的组合数是C(2,2) * C(48,1)。所以整个公式应该是：
【C(2,1) * C(49,2) -C(2,2) * C(48,1) 】/ C(50,3) = 11.8%
第二种是分开计算法。我们可以先计算翻牌只有一个K的组合，是C(2,1) * C(48,2) 种；再计算翻牌有两个K的组合，是C(2,2) * C(48,1) 种。这两种组合既无遗漏也无重复得涵盖了所有带K的翻牌。
【C(2,1) * C(48,2) +C(2,2) * C(48,1) 】/ C(50,3) = 11.8%
两种方法的计算结果完全一致，他们是等价的。
同样的方法可以用来计算第二道题。翻牌882，我们手里没有8，问对手有8的概率。同样，对手恰好是88的时候，会被上述计算重复计入了。可以使用排除法，减去88的那一种组合：
【C(2,1) * C(49,1) -C(2,2)】/ C(50,2) = 7.9%
也可以使用分开计算法。对手有且仅有一张8时，有C(2,1) * C(48,1)种组合；是一对8时，有C(2,2)种组合：
【C(2,1) * C(48,1) +C(2,2) 】/ C(50,2) = 7.9%
第三道题关于翻牌出同花听牌或者同花成牌的情况，有兴趣的读者不妨亲自计算，并把计算结果贴在留言里。
这类重复计算的错误，其思路很符合常识，所以很多人都会不自觉的犯下。又因为此错误带来的结果误差很小，因此还很难发现。
生活中这样的例子也很常见，比如江南省有100个干部，其中30个本地干部，70个外地干部。现要选拔12人做省委委员，要求至少5个本地干部。那么，如果我们在30个干部里面先选5个，剩下的随便挑，就会犯这种重复计算的问题。
每当我们涉及到类似“先选一个，剩下的随便挑”，或者“至少xx个”的时候，要注意先选的这一个是否还有可能出现在“随便挑”的范围内。如果可能，那就要警惕是否存在重复计算的问题。
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